カイ2乗分布

χ²分布（カイ２乗分布）
χ²分布はχ²検定などの仮説検定を行うための確率分布です。
　標準正規分布からランダムに一定数のデータを取り出して、その2乗和を計算するという作業を無限回繰り返したときに描かれる確率分布をχ²分布といいいます。2乗するわけですから、χ²値は正の値しかとりません。χ²分布が左右非対称な確率分布であることも予想できるでしょう。
　また、ここで「一定数」としていたものがχ²分布の「自由度」です。カイ２乗分布は、自由度で形が変わります。

χ²分布関連の呪文
確率分布の呪文は、頭文字１字で「Rがすべき作業内容」を表し、２文字目から確率分布の略称となっていることが多いです。
χ²分布の英名はchi-squared distributionなので「chisq」が分布の略称です。
頭文字1字には、d、p、rの３通りがあります。χ2分布ではrを滅多に使わないので、省略します。
dchisq: 想定したχ2分布におけるX軸の値ごとの「確率密度」を求める。densityのd
pchisq: 想定したχ2分布において、X軸が、ある値以下となる(orより大きな値となる)「確率」を求める。probabilityのp

χ²分布の確率密度
あるχ²分布における各値の確率密度を計算したい場合はdchisqを用います。
自由度が１のχ²分布で、それぞれのχ²値の確率密度を求めましょう。
dchisq(1, df=1)
dchisq(2, df=1)
dchisq(5, df=1) 
今度は自由度が3のχ²分布で、それぞれのχ²値の確率密度を求めましょう。
dchisq(1, df=3)
dchisq(2, df=3)
dchisq(5, df=3)
χ²分布は自由度に応じて変化することが分かります。

χ²分布の確率
今度は確率密度ではなく、確率を計算します。例えば、自由度が1のχ²分布で、χ²値が8よりも大きな値をとる確率を求めてみましょう。
pchisq(8, df=1, lower.tail=F) 
デフォルトがlower.tail=TRUEなので、ここではFALSEに変えて、χ²値が8よりも大きな値となる確率Pを求めています。
pchisq(8, df=3, lower.tail=F) 
pchisq(8, df=5, lower.tail=F) 
このように、χ²値が同じでも自由度が異なるときはP値も異なります。
χ²検定などではχ²値とP値だけでなく、自由度dfの値も必要です。

χ²分布の形
χ²分布は自由度dfによって形が決まるので、dfの値を変えて比べてみましょう。
x <- seq(0.1, 10, 0.01)
plot(x, dchisq(x, df=1), type="l", ylim=c(0, 0.5))  #type="l"の「l」はイチではなくエルの小文字です。
lines(x, dchisq(x, df=3), col="red")
lines(x, dchisq(x, df=5), col="blue")

χ²分布を自作してみる
χ²値とは、標準正規分布からランダムに取り出した値を２乗して、それらを全て足し合わせた総和です。なので、正の値しかとりません。まず、上記と同じように、この分布を描きます。

par(mfrow=c(2, 1))
x <- seq(0, 20, 0.01)
plot(x, dchisq(x, df=1), lwd=3, type="l", ylim=c(0,1))
このχ²分布を標準正規分布からランダムに値をとって２乗することで自作してみましょう。
rnorm(10000)^2 -> z2
hist(z2, breaks=seq(0, 20, 0.5))
par(mfrow=c(1, 1))
たしかに、さきほどのplotのような分布になりましたね。こんどは、自由度５のχ²分布を描いてみます。
par(mfrow=c(2, 1))
x <- seq(0, 30, 0.01)
plot(x, dchisq(x, df=5), type="l")
自由度によって「山」の形は変わりますね。

では、自由度5のχ²分布を標準正規分布から作って描いてみましょう。
z3 <- c()
for(i in 1:10000){
    sum(rnorm(5)^2) ->z3[i]
}
hist(z3)
par(mfrow=c(1, 1))

最後に自由度を変えてχ²分布を比べてみましょう。
x <- seq(0, 15, 0.01)
plot(x, dchisq(x, df=1), lwd=3, type="l", ylim=c(0,1))
lines(x, dchisq(x, df=2), lwd=3, lty=2)
lines(x, dchisq(x, df=3), lwd=3, col=2)
lines(x, dchisq(x, df=5), lwd=3, col="darkblue")
このように、山の形がぜんぜん違うので、χ²値 (X軸の値) が同じでも、
自由度が違えば、そこから左裾野側の面積であるP値も全然違います。
pchisq(5, df=1, lower.tail=F)
pchisq(5, df=3, lower.tail=F)
pchisq(5, df=5, lower.tail=F)