14C年代推定法の計算（基礎）

　宇宙には、超新星爆発などで、高エネルギーの宇宙線が飛びかっています。その宇宙線が大気上層で空気分子あたると、原子核が壊れて中性子が飛び出ます。その中性子が窒素原子にあたり、原子核中の陽子とおきかわると14Cになります。放射性14Cの中性子は、いずれβ崩壊（電子を放出）して陽子になり、14Nに戻ります。

14Cがβ崩壊する確率は、未来永劫、宇宙何処でも一緒です。1個の14Cが単位時間（1秒）のうちに放射壊変する確率を、上図中でβ壊変の速度定数κ(= 3.83×10^-12 (1/s)）として記しました。仮に、14C原子が2.61×10¹¹個存在したら、1秒後にはκ×2.61×10¹¹個だけβ崩壊してなくなります（その分14N原子になる）。これを計算すると、14C原子2.61×10¹¹個のうち、ちょうど1秒後に1個の14C原子が放射壊変して消滅します（その分14Nができる）。元の半分の個数になるまでの時間を放射壊変による“半減期”といいます。14Cの場合、それが5730年です。

これを数式化します。海洋化学の基礎を学んでいると、微分積分の基礎も忘れてしまうので、以下、復習しましょう。

　ある時刻tにおける14C原子の個数を[14C]tとおきます。その後、1秒間にβ崩壊して消滅する個数がκ×[14C]tです。1秒後の個数[14C]t+1は、はじめの個数[14C]t から、消滅個数 κ×[14C]t  を差し引いた値です。数式にすると、[14C]t+1 =[14C]t -κ×[14C]t  です。

　これを変形すれば、[14C]t+1 -[14C]t  = -κ×[14C]t  になります。左辺は、1秒後の個数変化です。左辺に分母の1 (s)があると思えば、1秒当たりの個数変化（[14C]t+1－[14C]t）／1(s) が－κ×[14C]tに等しいことを意味します。つまり、（[14C]t+1－[14C]t）／1(s)  =－κ×[14C]t です。

　つぎは、1(s)あたりではなく、微小時間Δ(s)あたりの個数変化ににすれば、[14C]t+1－[14C]t）／Δ(s)  =－κ×[14C]t　になります。

　微小時間⊿を無限小にすれば、微分形式d[14C]t / dt = －κ×[14C]tで表すことができます。この微分方程式を解いたものが、下図の結果です。（この微分方程式の解の公式は、各自復習してスラスラ書けるようにしてください）

　初期時刻(t = 0)における個数[14C]₀の半分（0.5[14C]₀）になる時間Tが半減期だから、下図のように、14Cの半減期は5730年と計算されます。

注意　14C年代推定においては、14Cの半減期を5568年として計算します。14Cが天然に存在することを発見したW.F.Libby（1960年ノーベル賞受賞）が用いた半減期（5,568年）を使う取り決めがあります。